9.5: Eenvoudige analyse van het ontwerp van 2x2 herhaalde metingen (2023)

Laatst bijgewerkt
Opslaan als PDF

Pagina-ID: 7944

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}}}\) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!- \!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{ span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart }{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\ norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm {span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\ mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{ \ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{ \unicode[.8,0]{x212B}}\)

Normaal gesproken zouden we je in een hoofdstuk over factoriële ontwerpen kennis laten maken met factoriële ANOVA's, wat helemaal iets is. Binnenkort stellen we ze aan je voor. Maar voordat we dat doen, laten we u zien hoe u een ANOVA-ontwerp met 2x2 herhaalde metingen analyseert met t-testen met gepaarde steekproeven. Dit is waarschijnlijk iets wat je niet vaak zult doen. Het blijkt echter dat de antwoorden die u met deze methode krijgt, dezelfde zijn als die u zou krijgen met een ANOVA.

Toegegeven, als je de uitleg van ANOVA ingewikkeld vond, zal het voor factoriële ontwerpen nog ingewikkelder lijken. Ons doel hier is dus om de complicatie uit te stellen en u met t-tests te laten zien wat de factoriële ANOVA aan het doen is. Wat nog belangrijker is, als je de analyse met t-toetsen doet, moet je heel voorzichtig zijn om alle vergelijkingen op de juiste manier te maken. Het resultaat is dat je enige ervaring opdoet door te leren hoe je kunt weten wat je wilt weten van factoriële ontwerpen. Als je eenmaal weet wat je wilt weten, kun je de ANOVA gebruiken om de antwoorden te vinden, en dan weet je ook naar welke antwoorden je moet zoeken nadat je de ANOVA hebt uitgevoerd. Is nieuwe kennis niet leuk!

Het eerste dat we moeten doen, is definiërenbelangrijkste effectenEninteracties. Wanneer je een Factorial design uitvoert, heb je ook de mogelijkheid om te analyserenbelangrijkste effectenEninteracties. Het aantal echterbelangrijkste effectenEninteractiesu kunt analyseren hangt af van het aantal IV's in het ontwerp.

Belangrijkste effecten

Formeel zijn hoofdeffecten de gemiddelde verschillen voor een enkele onafhankelijke variabele. Er is altijd één hoofdeffect voor elke IV. Een 2x2-ontwerp heeft 2 IV's, dus er zijn twee hoofdeffecten. In ons voorbeeld is er één hoofdeffect voor afleiding en één hoofdeffect voor beloning. We zullen vaak vragen of het belangrijkste effect van een IV significant is. Dit verwijst naar een statistische vraag: waren de verschillen tussen de gemiddelden voor die IV waarschijnlijk of onwaarschijnlijk door toeval veroorzaakt (steekproeffout).

Als je een 2x2x2 ontwerp had, zou je drie hoofdeffecten meten, één voor elke IV. Als je een 3x3x3 ontwerp had, zou je nog steeds maar 3 IV's hebben, dus je zou drie hoofdeffecten hebben.

Interactie

We vinden dat het interactieconcept een van de meest verwarrende concepten is voor factoriële ontwerpen. Formeel zouden we kunnen zeggen dat er een interactie optreedt wanneer het effect van een IV invloed heeft op de grootte van het effect van een andere IV. Dat is waarschijnlijk niet erg nuttig. Meer concreet, aan de hand van ons voorbeeld, ontdekten we dat de beloning IV een effect had op de grootte van het afleidingseffect. Het afleidingseffect was groter als er geen beloning was, en kleiner als er wel een beloning was. Er was dus een wisselwerking.

We zouden ook kunnen zeggen dat er een interactie plaatsvindt wanneer het verschil tussen de verschillen verschillend is! Jakkes. Laten we het uitleggen. Er was een verschil in spot-the-difference-prestatie tussen de afleidingsconditie en de niet-afleidingsconditie, dit wordt het afleidingseffect genoemd (het is een verschilmaat). De beloningsmanipulatie veranderde de grootte van het afleidingseffect, dat wil zeggen dat er een verschil was in de grootte van het afleidingseffect. Het afleidingseffect is zelf een maat voor verschillen. We ontdekten dus dat het verschil (in het afleidingseffect) tussen de verschillen (de twee maten van het afleidingseffect tussen de beloningsvoorwaarden) verschillend was. Wanneer je uitleg begint op te schrijven over wat interacties zijn, ontdek je waarom ze ingewikkeld overkomen. We laten onze definitie van interactie voorlopig zo. Maak je geen zorgen, we zullen veel voorbeelden doornemen om dit concept voor je te verstevigen.

Het aantal interacties in het ontwerp hangt ook af van het aantal infusen. Voor een 2x2 ontwerp is er maar 1 interactie. De interactie tussen IV1 en IV2. Dit gebeurt wanneer het effect van bijvoorbeeld IV2 (of er een verschil is tussen de niveaus van IV2) verandert over de niveaus van IV1. We zouden dit omgekeerd kunnen schrijven en vragen of het effect van IV1 (of er een verschil is tussen de niveaus van IV1) verandert over de niveaus van IV2. Echter, alleen omdat we dit op twee manieren kunnen schrijven, betekent niet dat er twee interacties zijn. We zullen straks zien dat het niet uitmaakt hoe de berekening wordt uitgevoerd om te zien of de verschilscores - maatstaf voor effect voor één IV - veranderen over de niveaus van de andere IV, we krijgen altijd hetzelfde antwoord. Daarom is er maar één interactie voor een 2x2. Evenzo is er slechts één interactie voor een 3x3, omdat we ook daar maar twee IV's hebben (elk met drie niveaus). Pas als we ontwerpen met meer dan 2 IV's bekijken, vinden we meer mogelijke interacties. Een ontwerp met drie IVS heeft vier interacties. Als de IV's het label A, B en C hebben, hebben we drie tweewegsinteracties (AB, AC en BC) en één driewegsinteractie (ABC). We wachten met dit spul tot veel later.

Kijkend naar de gegevens

Het is zeer nuttig om enkele gegevens te zien om te begrijpen hoe we deze zullen analyseren. Laten we ons voorstellen dat we ons onderzoek naar nep-aandacht hebben uitgevoerd. We zullen vijf mensen in de studie hebben en ze zullen aan alle omstandigheden deelnemen, dus het zal een ontwerp met volledig herhaalde metingen zijn. De gegevens kunnen er als volgt uitzien:

	Geen beloning		Beloning
	Geen afleiding	Afleiding	Geen afleiding	Afleiding
onderwerp	A	B	C	D
1	10	5	12	9
2	8	4	13	8
3	11	3	14	10
4	9	4	11	11
5	10	2	13	12

Opmerking:Aantal waargenomen verschillen voor elk onderwerp in elke conditie.

Belangrijkste effect van afleiding

Het belangrijkste effect van afleiding vergelijkt de algemene gemiddelden voor alle scores in de condities zonder afleiding en afleiding, samenvallend met de beloningscondities.

De gele kolommen tonen de niet-afleidingsscores per onderwerp. De blauwe kolommen tonen de afleidingsscores per vak.

De algemene middelen voor elk onderwerp, voor de twee afleidingscondities, worden rechts weergegeven. Bijvoorbeeld, proefpersoon 1 had een 10 en 12 in de toestand zonder afleiding, dus hun gemiddelde is 11.

We zijn geïnteresseerd in het belangrijkste effect van afleiding. Dit is het verschil tussen de AC-kolom (gemiddelde van de subjectscores in de niet-afleidingsconditie) en de BD-kolom (gemiddelde van de subjectscores in de afleidingsconditie). Deze verschillen per vak staan in de laatste groene kolom. De algemene gemiddelden, middelen over proefpersonen, staan in de onderste groene rij.

Belangrijkste effect van beloning

Het belangrijkste effect van beloning vergelijkt de totale gemiddelden voor alle scores in de geen-beloningsvoorwaarden en de beloningsvoorwaarden, samenvallend over de beloningsvoorwaarden.

De gele kolommen tonen de no-reward-scores voor elk onderwerp. De blauwe kolommen tonen de beloningsscores voor elk onderwerp.

De totale middelen voor elk onderwerp, voor de twee beloningsvoorwaarden, worden rechts weergegeven. Proefpersoon 1 had bijvoorbeeld een 10 en een 5 in de toestand zonder beloning, dus hun gemiddelde is 7,5.

We zijn geïnteresseerd in het belangrijkste effect van beloning. Dit is het verschil tussen de AB-kolom (gemiddelde van de subjectscores in de toestand zonder beloning) en de CD-kolom (gemiddelde van de subjectscores in de beloningsconditie). Deze verschillen per vak staan in de laatste groene kolom. De algemene gemiddelden, middelen over proefpersonen, staan in de onderste groene rij.

9.5: Eenvoudige analyse van het ontwerp van 2x2 herhaalde metingen (3)

Als we alleen naar de middelen kijken, kunnen we zien dat beloning een hoofdeffect was. Het gemiddelde aantal waargenomen verschillen was 11,3 in de beloningsconditie en 6,6 in de geen-beloningsconditie. De grootte van het belangrijkste effect van beloning was dus 4,7.

Is een verschil van deze omvang waarschijnlijk o onwaarschijnlijk door toeval? We zouden een \(t\)-test met gepaarde steekproeven kunnen uitvoeren op de AB- vs. CD-gemiddelden, of een \(t\)-toets met één steekproef op de verschilscores. Ze geven allebei hetzelfde antwoord:

Hier is de gepaarde voorbeeldversie:

A <- c(10,8,11,9,10) #nD_nRB <- c(5,4,3,4,2) #D_nRC <- c(12,13,14,11,13) #nD_RD < - c(9,8,10,11,12) #D_RAB<- (A+B)/2 CD<- (C+D)/2t.test(CD,AB, gepaard=TRUE,var.equal=TRUE )

Gepaarde t-testgegevens: CD en ABt = 8,3742, df = 4, p-waarde = 0,001112 alternatieve hypothese: echt verschil in gemiddelden is niet gelijk aan 095 procent betrouwbaarheidsinterval: 3,141724 6,258276steekproefschattingen: gemiddelde van de verschillen 4,7

Hier is de enige voorbeeldversie:

A <- c(10,8,11,9,10) #nD_nRB <- c(5,4,3,4,2) #D_nRC <- c(12,13,14,11,13) #nD_RD < - c(9,8,10,11,12) #D_RAB<- (A+B)/2 CD<- (C+D)/2t.test(CD-AB, mu=0)

Eén voorbeeld t-testgegevens: CD - ABt = 8,3742, df = 4, p-waarde = 0,001112 alternatieve hypothese: waar gemiddelde is niet gelijk aan 095 procent betrouwbaarheidsinterval: 3,141724 6,258276 steekproefschattingen: gemiddelde van x 4,7

Als we onze resultaten voor het hoofdeffect van beloning zouden opschrijven, zouden we zoiets als dit kunnen zeggen:

Het belangrijkste effect van beloning was significant, t(4) = 8,37, p = 0,001. Het gemiddelde aantal waargenomen verschillen was hoger in de beloningsconditie (M = 11,3) dan in de niet-beloningsconditie (M = 6,6).

(Video) Two factor ANOVA with repeated measures

Interactie tussen afleiding en beloning

Nu zijn we klaar om naar de interactie te kijken. Weet je nog, wat was het hele punt van deze nepstudie? Kun je het je herinneren?

Hier is een herinnering. We wilden weten of het geven van beloningen of niet de grootte van het afleidingseffect zou veranderen.

Merk op dat noch het belangrijkste effect van afleiding, noch het belangrijkste effect van beloning, dat we zojuist door het rekenproces hebben doorlopen, deze vraag beantwoordt.

Om de vraag te beantwoorden moeten we twee dingen doen. Bereken eerst het afleidingseffect voor elk onderwerp wanneer ze zich in de toestand zonder beloning bevonden. Ten tweede, bereken het afleidingseffect voor elk onderwerp wanneer ze zich in de beloningsconditie bevonden.

Vervolgens kunnen we de twee afleidingseffecten vergelijken en kijken of ze verschillend zijn. De vergelijking tussen de twee afleidingseffecten noemen we deinteractie effect. Onthoud dat dit een verschil is tussen twee verschilscores. We krijgen eerst de verschilscores voor de afleidingseffecten in de condities zonder beloning en beloning. Vervolgens vinden we de verschilscores tussen de twee afleidingseffecten. Dit verschil van verschillen is het interactie-effect (groene kolom in de tabel)

9.5: Eenvoudige analyse van het ontwerp van 2x2 herhaalde metingen (4)

De gemiddelde afleidingseffecten in de condities zonder beloning (6) en beloning (2.6) waren verschillend. Dit verschil is het interactie-effect. De grootte van het interactie-effect was 3,4.

Hoe kunnen we testen of het interactie-effect waarschijnlijk of onwaarschijnlijk was door toeval? We zouden nog een \(t\)-test met twee steekproeven kunnen uitvoeren tussen de twee afleidingseffectmaten voor elk onderwerp, of een \(t\)-test met één steekproef op de groene kolom (die het verschil tussen de verschillen weergeeft). Beide \(t\)-testen geven dezelfde resultaten:

Hier is de gepaarde voorbeeldversie:

A <- c(10,8,11,9,10) #nD_nRB <- c(5,4,3,4,2) #D_nRC <- c(12,13,14,11,13) #nD_RD < - c(9,8,10,11,12) #D_RA_B <- A-BC_D <- C-Dt.test(A_B,C_D, gepaard=TRUE,var.equal=TRUE)

Gepaarde t-testgegevens: A_B en C_Dt = 2,493, df = 4, p-waarde = 0,06727 alternatieve hypothese: echt verschil in gemiddelden is niet gelijk aan 095 procent betrouwbaarheidsinterval: -0,3865663 7,1865663 steekproefschattingen: gemiddelde van de verschillen 3,4

Hier is de enige voorbeeldversie:

A <- c(10,8,11,9,10) #nD_nRB <- c(5,4,3,4,2) #D_nRC <- c(12,13,14,11,13) #nD_RD < - c(9,8,10,11,12) #D_RA_B <- A-BC_D <- C-Dt.test(A_B-C_D, mu=0)

Eén voorbeeld t-testgegevens: A_B - C_Dt = 2,493, df = 4, p-waarde = 0,06727 alternatieve hypothese: waar gemiddelde is niet gelijk aan 095 procent betrouwbaarheidsinterval: -0,3865663 7,1865663 steekproefschattingen: gemiddelde van x 3,4

Oh kijk, de interactie was niet significant. Tenminste, als we ons alfa-criterium op 0,05 hadden gezet, zou het niet aan dat criterium hebben voldaan. We zouden de resultaten zo kunnen opschrijven. De tweerichtingsinteractie tussen afleiding en beloning was niet significant, \(t\)(4) = 2.493, \(p\) = 0.067.

Wanneer een resultaat volgens de alfacriteria "niet significant" is, wordt het patroon tussen de middelen vaak niet verder beschreven. Een van de redenen voor deze praktijk is dat de onderzoeker de gemiddelden behandelt alsof ze niet verschillend zijn (omdat er een kans van boven alfa was dat de waargenomen verschillen aan toeval te wijten waren). Als ze niet verschillend zijn, is er geen patroon te melden.

Er zijn meningsverschillen tussen redelijke en deskundige statistici over wat wel en niet gerapporteerd moet worden. Laten we zeggen dat we de waargenomen gemiddelde verschillen willen rapporteren, we zouden zoiets als dit schrijven:

De tweerichtingsinteractie tussen afleiding en beloning was niet significant, t(4) = 2.493, p = 0.067. Het gemiddelde afleidingseffect in de niet-beloningsconditie was 6 en het gemiddelde afleidingseffect in de beloningsconditie was 2,6.

(Video) The repeated-measures ANOVA | explained with a simple example

Alles opschrijven

We hebben een analyse voltooid van een ontwerp met 2x2 herhaalde metingen met behulp van paired-samples \(t\)-tests. Hier is hoe een volledige beschrijving van de resultaten eruit zou kunnen zien.

Het belangrijkste effect van beloning was significant, \(t\)(4) = 8,37, \(p\) = 0,001. Het gemiddelde aantal waargenomen verschillen was hoger in de beloningsconditie (M = 11,3) dan in de niet-beloningsconditie (M = 6,6).

De tweerichtingsinteractie tussen afleiding en beloning was niet significant, \(t\)(4) = 2.493, \(p\) = 0.067. Het gemiddelde afleidingseffect in de niet-beloningsconditie was 6 en het gemiddelde afleidingseffect in de beloningsconditie was 2,6.

Tussentijdse samenvatting. We hebben deze oefening doorlopen om u te laten zien hoe u de gegevens opsplitst in afzonderlijke interessante vergelijkingen. Over het algemeen zou een ontwerp met 2x2 herhaalde metingen niet worden geanalyseerd met drie gepaarde steekproeven \(t\)-test. Dit komt omdat het handiger is om de ANOVA met herhaalde metingen voor deze taak te gebruiken. We zullen dit zo doen om u te laten zien dat ze dezelfde resultaten geven. En met dezelfde resultaten zullen we laten zien dat de \(p\)-waarden voor elk hoofdeffect en de interactie hetzelfde zijn. De ANOVA geeft ons \(F\)-waarden in plaats van \(t\) waarden. Het blijkt dat in deze situatie de \(F\)-waarden gerelateerd zijn aan de \(t\)-waarden. In feite is \(t^2 = F\).

2x2 herhaalde metingen ANOVA

We hebben zojuist laten zien hoe een ontwerp met 2x2 herhaalde metingen kan worden geanalyseerd met behulp van paired-sampled \(t\)-tests. We hebben de analyse opgedeeld in drie delen. Het hoofdeffect voor afleiding, het hoofdeffect voor beloning en de tweerichtingsinteractie tussen afleiding en beloning. We beweerden dat de resultaten van de paired-samples \(t\)-testanalyse zouden weerspiegelen wat we zouden vinden als we de analyse zouden uitvoeren met behulp van een ANOVA. Laten we laten zien dat de resultaten hetzelfde zijn. Hier zijn de resultaten van de 2x2 ANOVA met herhaalde metingen, met behulp van deaovfunctie in R.

bibliotheek(xtable)A <- c(10,8,11,9,10) #nD_nRB <- c(5,4,3,4,2) #D_nRC <- c(12,13,14,11,13 ) #nD_RD <- c(9,8,10,11,12) #D_RNumber_spotted <- c(A, B, C, D)Afleiding <- rep(rep(c("Geen afleiding", "Afleiding"), elk=5),2)Beloning <- rep(c("Geen beloning","Beloning"),elk=10)Onderwerpen <- rep(1:5,4)Afleiding <- as.factor(Afleiding)Beloning < - as.factor(Beloning)Subjects <- as.factor(Subjects)rm_df <- data.frame(Subjects, Distraction, Reward, Number_spotted)aov_summary <- summary(aov(Number_spotted~Distraction*Reward + Error(Subjects/(Distraction *Beloning)), rm_df))knitr::kable(xtable(aov_summary))

	Df	Som Sq	Gemiddelde Sq	F-waarde	Pr(>F)
Afleiding	1	92.45	92.450	58.698413	0,0015600
Afleiding: beloning	1	14.45 uur	14.450	6.215054	0,0672681
Residuen	4	3.70	0,925	DAT	DAT
Residuen	4	6.30 uur	1.575	DAT	DAT
Residuen	4	9.30 uur	2.325	DAT	DAT
Residuen1	4	6.30 uur	1.575	DAT	DAT
Beloning	1	110.45	110.450	70.126984	0.0011122

Laten we deze resultaten vergelijken met de paired-samples \(t\)-tests.

Belangrijkste effect van afleiding: Met behulp van de gepaarde steekproeven \(t\)-test vonden we \(t\)(4) =7.6615, \(p\)=0.00156. Met behulp van de ANOVA vonden we, \(F\)(1,4) = 58.69, \(p\)=0.00156. Kijk, de \(p\)-waarden zijn hetzelfde, en \(t^2 = 7.6615^2 = 58.69 = F\).

Belangrijkste effect van beloning: Met behulp van de gepaarde steekproeven \(t\)-test vonden we \(t\)(4) =8,3742, \(p\)=0,001112. Met behulp van de ANOVA vonden we, \(F\)(1,4) = 70.126, \(p\)=0.001112. Kijk, de \(p\)-waarden zijn hetzelfde, en \(t^2 = 8.3742^2 = 70.12 = F\).

Interactie-effect: Met behulp van de gepaarde steekproeven \(t\)-test vonden we \(t\)(4) =2.493, \(p\)=0.06727. Met behulp van de ANOVA vonden we, \(F\)(1,4) = 6.215, \(p\)=0.06727. Kijk, de \(p\)-waarden zijn hetzelfde, en \(t^2 = 2.493^2 = 6.215 = F\).

Daar heb je het. De resultaten van een 2x2 ANOVA met herhaalde metingen zijn hetzelfde als wanneer u paired-samples \(t\)-tests zou gebruiken voor de belangrijkste effecten en interacties.